(1,2節) 圏の構造と公理

圏（Category）の定義

圏 $\mathcal{C}$ は、次のデータからなる：

• 対象集合 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$
• 射集合 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, B)$（$A, B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$）
• 合成：$g \circ f$（$f : A \to B$, $g : B \to C$）
• 恒等射：$\mathrm{id}_A \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, A)$

class Category cat where
  id  :: cat a a
  (.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

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公理体系

• 結合律： $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$
• 恒等律： $$\mathrm{id}_B \circ f = f = f \circ \mathrm{id}_A$$

-- h . (g . f) == (h . g) . f
-- id . f == f == f . id

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g :: String -> [Char] g = reverse h :: Int -> [Char] h = g . f f : X → Y に対して： id_X id_Y

図式記法と合成の視覚化

A ──f──▶ B ──g──▶ C

↓ g∘f

A ─────▶ C

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例

• 集合の圏 $\mathbf{Set}$ 対象：集合、射：写像

• 群の圏 $\mathbf{Grp}$ 対象：群、射：群準同型

• 型と関数の圏（Haskell）

instance Category (->) where
  id x = x
  (g . f) x = g (f x)

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このように、圏論は「対象・射・合成・恒等射・公理」の最小限の枠組みで、あらゆる数学的構造を統一的に記述する。